Proyecto ECOS : ETM del análisis

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LOS ESPACIOS DE TRABAJO MATEMÁTICO DEL ANÁLISIS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN CHILE Y EN FRANCIA : IDENTIFICACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

Inicio

Proyecto ECOS (2014 - 2016)

• El proyecto C13H03 está coordinado por Alain Kuzniak y Laurent Vivier en Francia, y Elizabeth Montoya en Chile.
• Participan la Universidad Paris-Diderot y la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Actividades y artículos relacionados con el proyectos

Contacto :
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Alain Kuzniak

Laurent Vivier 

Elizabeth Montoya 

Presentación general del proyecto

El proyecto, previsto en un período de 3 años (2014-2016), es una asociación entre el LDAR y el equipo de didáctica de las Matemática del Instituto de Matemática de la PUCV en Chile. Los vínculos entre los dos equipos se remontan a la década de 2000, con un primer proyecto ECOS-Sud (2003-2005) en geometría.
El objetivo principal del proyecto es analizar el espacio de Trabajo Matemático, ETM, en el dominio del análisis de los profesores en formación inicial y continua, en Chile y Francia, con el fin de desarrollar recursos para la formación y la enseñanza.

En un primer momento se analiza el ETM-idóneo en la universidad en la formación inicial y en el liceo y desarrollamos el marco de ETM en el dominio del análisis, en las dimensiones epistemológicas y cognitivas, con la identificación de paradigmas. Para el ETM idóneo como para el ETM personal de los profesores, contaremos con entrevistas a profesores de matemáticas. Posteriormente, situaciones didácticas serán elaboradas, propuestas y analizadas en la formación inicial y continua teniendo en cuenta nuestros análisis iniciales.

Nuestra hipótesis de trabajo es que en análisis se requiere una flexibilidad entre diferentes dominios de la matemática y no solo de conocimientos algebraicos donde el cálculo no es suficiente en este dominio. Con este fin, el estudio se apoya y toma en cuenta necesariamente el conocimiento antiguo, otros dominio de las matemáticas en juego, así como la dialéctica local - global, del valor exacto y el valor aproximado, y lo discreto y continuo.

Problemática

Los inicios de la enseñanza del análisis

La investigación en didáctica de las matemáticas y los recursos para la enseñanza de las matemáticas en general se han preocupado de las nociones elementales introducidas en la escolaridad obligatoria (números enteros, decimales, fracciones, álgebra, geometría). Sin embargo, ella aparece tardíamente en el currículum, el análisis y su enseñanza han atraído la atención de los investigadores. El análisis es en efecto un dominio completamente nuevo, cuya enseñanza comienza, no obstante puede ser visto como el resultado de un proyecto largo de enseñanza que se apoya en la proporcionalidad, las gráficas, la recta –su ecuación, su pendiente– la tangente, la pendiente en la derivación o incluso medidas (« grandeurs ») en la integración. 
Si bien se puede considerar el análisis como un campo matemático aislado, es difícil concebirlo como un dominio autónomo, pues los lazos con otros dominios y con los conocimientos que le preceden son fuertes. En cada país, el análisis y muy particularmente el estudio de límites y funciones son cuestiones complejas en cuanto a su aprendizaje (Artigue, 1998) y, a la vez, temáticas centrales y transversales en los programas de estudio del liceo y de la universidad. En Francia, el acento está puesto sobre la resolución de problemas, porque los procedimientos y las nociones algébricas y numéricas se vuelven inadecuados para modelizar y tratar situaciones internas en las matemáticas como también externas (física, química, biología, economía). Los alumnos del liceo tendrán, por una parte no despreciable de ellos, la de esta aproximación al análisis ya sea en sus estudios universitarios o en sus futuras profesiones.
Sin embargo, aquello que es trabajado en el liceo al respecto es en cierto modo un análisis donde se han obviado sus fundamentos para conservar sólo los métodos: derivar se hace solo con una serie de operaciones algébricas algoritmizadas y calcular un límite se vuelve muy a menudo en utilizar lo que es llamado "el álgebra de los límites". Lo que los anglosajones llaman "cálculo". En Chile, al nivel de la transposición del saber algébrico, la evidencia muestra que las génesis no son apropiadas y que el álgebra operatoria domina la enseñanza. Así, en cuanto al análisis, pensamos que los génesis también no son apropiadas, esto constituye una de las hipótesis principales de nuestro estudio.
Desde luego, estos procedimientos algebrizados son útiles y necesarios para tratar los problemas y esto podría ser útil para un gran número de profesiones. Pero, ¿cuál es el sentido?, ¿cuál es la conceptualización que podemos esperar para los alumnos? Un alumno a quien se le solicita calcular un límite puede utilizar procedimientos algébricos para efectuar esta tarea; sin embargo, ¿será capaz, él solo, de movilizar la noción de límite para resolver un problema?; ¿será capaz de adaptar sus conocimientos? Podemos pensar que la utilización de algoritmos algebraicos no es suficiente para permitir la resolución de este tipo de problemas que necesita un trabajo específico en análisis.
Así, nosotros nos situamos en una perspectiva que toma en cuenta la enseñanza de los principios del análisis en el liceo y, en primer lugar, con la dialéctica local/global. De hecho, en el liceo, esta dialéctica local/global no aparece, o aparece muy poco, y el punto de vista local es poco visible. La cuestión del pasaje de lo discreto a lo continuo es igualmente necesaria de discutir, particularmente porque a menudo este pasaje es parte central en preguntas de modelización. 

La formation des enseignants de mathématiques

En Chile como en Francia, los profesores del liceo son formados en la universidad donde ellos adquieren, entre otros, nociones de análisis que tratan recontextualizar en la enseñanza al liceo. Por otro lado. Por otra parte, los profesores de matemáticas tuvieron una formación universitaria en el análisis, y no solamente en cálculo. Esta formación, ¿será suficiente para que puedan integrar en sus enseñanzas los principios del análisis en un currículo esencialmente orientado en el calculo?. La enseñanza no es únicamente guiada por la conceptualización ya mencionada y esto plantea más ampliamente la cuestión de la transposición de saberes que hay que enseñar.
Además, los programas actuales no facilitan este trabajo de transposición. Por ejemplo en Francia, los programas del « terminal científico » sobre límites de funciones precisan que "El trabajo realizado sobre los sucesiones es entendido con las funciones, sin una formalización excesiva". En Chile como en Francia temas relacionados con el análisis son tratados en la secundaria. Pero estos principios no son explotados como tales en la universidad y no se moviliza conocimientos anteriores (antiguos). Así, los profesores adquieren en la universidad las nociones de análisis que deberán recontextualizar para la enseñanza en el liceo con una transposición que será largamente a su cargo.
Paradójicamente, esta enseñanza donde no es tratado formalizar la noción de límite, supone por parte del profesor un gran dominio conceptual y epistemológico en el campo matemático enseñado. Él debe, en efecto apoyar su enseñanza en un discurso explicativo de las matemáticas en juego pero sin poder recurrir al lenguaje matemático formalizado aprendido en la universidad. Este discurso, que lo calificamos como méta-matemático, podrá apoyarse sobre cambios de marcos y de registros para favorecer los aprendizajes. Pero esto, demanda probablemente conocimientos matemáticos y didácticos importantes, y asegurarlos con el fin de poder organizar y controlar tal discurso. Así, es la formación profesional de los profesores de matemáticas que están en juego, ya sea de formación inicial o continua. Esto nos conduce a ponernos en el corazón de nuestro proyecto, con las preguntas centrales siguientes:

• ¿Cuáles transposiciones de saberes deben poner en juego los profesores y pueden poner en la obra (ejecución) para asegurar la enseñanza del análisis en el liceo?
• ¿Cómo sus formaciones profesionales inicial y continua pueden contribuir a esto?
• ¿Cuáles son los tipos de discurso y de formulación que pueden favorecer los aprendizajes de los alumnos y una conceptualización adecuada de las nociones en juego en el análisis? 

Estas preguntas son evidentemente necesarias a considerar en relación a los contextos institucionales. En Chile, diversos informes como el de la OCDE (2003) a nivel internacional y SIMCE (2003; 2007; 2009) a nivel nacional señalan la importancia que tiene la formación inicial de profesores en la enseñanza de matemática; por otra parte, las instituciones se verán tensionadas ante la presión que ejercerán las pruebas INICIA en la formación de profesores. En Francia, los últimos cambios organizacionales para la habilitación de profesores y los efectos que estos tendrán a futuro en la enseñanza de las matemáticas han sido subestimados.

Marco Teórico

Elementos centrales de la teoría Espacio de trabajo Matemático (ETM)

En el ETM (Kuzniak, 2011) se concibe la reflexión como el fruto de una interacción entre un individuo y los problemas en un dominio (originalmente Geometría, pero pueden ser Álgebra, Análisis u otro), que es un ambiente organizado por y para el geómetra (algebrista, etc.) mediante la articulación de dos planos, uno epistemológico y otro cognitivo.

El plano epistemológico está constituido por tres componentes o polos: representante (“representamen”), referencial y artefacto. El plano cognitivo está conformado por tres procesos: visualización, construcción y prueba. Para describir la articulación de los planos se consideran un conjunto de génesis que permiten relacionarlos: semiótica, instrumental y discursiva.

Existen tres tipos espacios de trabajo matemático: de referencia, definido según la relación con el saber, e idealmente sobre criterios matemáticos; idóneo, según se enseña este saber en una institución dada con una función definida, y personal, según se enfrenta el problema geométrico con los propios conocimientos matemáticos y capacidades cognitivas (Kuzniak, 2004).

Para el marco teórico del al análysis, ver la página Publicaciones.

Plan de Trabajo

Año 1 (2014) : recolección de datos

• Desarrollo del marco del ETM en el dominio del análisis (6 meses)
• Identificación del ETM idóneo : es indispensable comenzar por estudiar los programas de la universidad y también del liceo con la finalidad de encontrar aquellos puntos relevantes y problemáticos que son abordados desde una perspectiva del análisis (6 meses)
• Selección de objetos: se debe determinar elementos que conforman el estatus de objetos matemáticos en el liceo que son reconocidos como obstáculos y/o elementos centrales en la comprensión de saberes en el ámbito del análisis.
• Estudio bibliográfico: estudio de antecedentes e investigaciones ad hoc. (3 meses, en paralelo)
• Análisis de videos de clase de profesores en servicio (debutantes o no). (3 meses)
• Difusión: presentación en el simposio ETM 4 en Madrid.

Año 2 (2015) : Elaboración de escenarios y aplicación

• Elaboración de escenarios: en esta etapa se preparan actividades (situaciones de aprendizaje, cuestionarios) de objetos matemáticos (funciones continuas, límites, otros), los cuales fueron seleccionados en el primer año donde se tiene evidencia del ETM idóneo (y personal) estudiado. (3 meses)
• Aplicación de las situaciones de aprendizaje para profesores en formación inicial y continua. (2 meses)
• Análisis de datos: incorporar las respuestas y resultados de los profesores en formación inicial para que ellos analicen y reflexionen sobre su ETM-idóneo. Es un momento preciso para introducir la metodología del estudio de clases en un taller. (5 meses)
• Difusión: Presentación en CERME 9 en Praga (República Checa y en RELME 2015.

Año 3 (2016) : Aplicación de situaciones de aprendizaje

• En este año se realizará una nueva aplicación de escenarios (vía talleres) de las situaciones didácticas elaboradas con una intencionalidad en las génesis del ETMAnálisis, al resto de la población objetivo. (3 meses)
• Las situaciones didácticas se analizarán a priori y a posteriori, se introduce la metodología de la ingeniería didáctica y se la articulará con la población de profesores: formación inicial, en servicio (debutantes o no, y en formación continua), de manera de realizar un trabajo colaborativo ligado a la metodología del estudio de clases para que se enriquezcan los conocimientos de los involucrados (población de profesores antes descritos) y las situaciones de aprendizaje.
• Análisis y resultados (3 meses, en paralelo)
• Escritura de artículo e informes técnicos. (4 meses)
• Difusión científica: Presentación en congresos en Chile (SOCHIEM), latinoamericanos (RELME y EICAL 10, México), y Francia (CORFEM).
• Discusión entre equipos sobre el ETM: en cada etapa, se preveen trabajos y discusiones presenciales y a distancia entre los equipos. 

Misiones

ESTADÍAS EFFECTUADAS EN EL 2014

• 12-28 abril 2014, estadía de Laurent Vivier en Chile
• 14-29 junio 2014, estadía de Elizabeth Montoya en Francia
• 31 mayo-29 junio, estadía de Carolina Henríquez en Francia

ESTADÍAS 2015

• 12-26 Abril 2015, estadía de 14 días de Alain Kuzniak en Chile
• 19 augusto - 17 septiembre 2015, estadía de un mes de Paula Verdigo en Francia
• 01-15 septiembre 2015, estadía de 14 días de Jaime Mena-Lorca en Francia
• 28 septiembre - 28 Octubre 2015, estadía de un mes de Charlotte Derouet en Chile

Investigadores

Investigadores en el proyecto

Investigadores confirmados 

Estudiantes de doctorado 

Post-doctorado

Publicaciones 

ARTICULOS

MONTOYA DELGADILLO, E. & VIVIER, L. (2014). Les changements de domaine dans le cadre des Espaces de Travail Mathématique, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 19, 73-101.

MONTOYA DELGADILLO, E. & VIVIER, L. (2016) Mathematical Working Spaces as an analyzing tool for the teaching and learning of calculus , (primera versión de una articulo aceptado en ZDM, 2016-5).

KUZNIAK, A., MONTOYA DELGADILLO, E. & VIVIER, L. (2016) El espacio de trabajo matemático y sus génesis , Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 15.

CURSO Y TALLER EN LA 18ème ECOLE d'ETE DE DIDACTIQUE 

Cours 2 : Le travail mathématique en analyse de la troisième au début du supérieur : identification et construction , por Alain Kuzniak, Elizabeth Montoya, Fabrice Vandebrouck et Laurent Vivier

Taller :

• Taller : 1 : La fonction exponentielle en fin d'étude secondaire, Sophie Rousse, Fabrice Vandebrouck, Paula Verdugo, Laurent Vivier
• Taller : 2 : Entre ETM de l'analyse et ETM des probabilités : aires, intégrales et densité de probabilité, Charlotte Derouet, Soledad Estrella, Alain Kuzniak
• Taller : 3 : La notion de tangente en formation des enseignants de mathématiques, du début à la fin de l'université, Elizabeth Montoya Delgadillo, Rosa Elvira Páez Murillo, Laurent Vivier

COMUNICACIONES

Alain Kuzniak, Elizabeth Montoya-Delgadillo, Laurent Vivier, Soledad Estrella :
El trabajo matemático en el análisis: una aproximación a los etm en Francia y Chile , Poster presentado en el ETM4, Madrid, El Escorial de San Lorenzo, 30 junio - 4 julio 2014. Actas, pages 191-193.

Charlotte Derouet, Carolina Henriquez, Romina Menares, Monica Panero :
Expected activation level of knowledge about functions: a comparison Chile/France/Italy
Poster presentado en CERME 9, Prague, Charles University, 04 - 08 febrero 2015.

Charlotte Derouet, Carolina Henriquez, Romina Menares, Monica Panero :
Une comparaison internationale des attendus aux examens de fin de lycée : différences observées au travers une analyse de tâches a priori
Poster aceptado para el Séminaire National de Didactique des Mathématiques, 13-14 marzo 2015, Paris.

Elizabeth Montoya Delgadillo y Laurent Vivier :
ETM de la noción de tangente en un ámbito grafico Cambios de dominios y de puntos de vista
Taller en el CIAEM 14, Tuxtla Gutiérrez Chiapas, México, 03 - 07 mayo 2015.

Alain Kuzniak, Elizabeth Montoya Delgadillo y Laurent Vivier :
El espacio de trabajo matemático y sus génesis
Conferencia paralela en el CIAEM 14, Tuxtla Gutiérrez Chiapas, México, 03 - 07 mayo 2015.

Charlotte Derouet, Carolina Henriquez, Romina Menares, Monica Panero :
Estudio comparativo sobre la enseñanza de las funciones:análisis de tareas en libros de texto de chile, francia e italia, RELME 19, 2015.

Páez Murillo, R. E., Montoya Delgadillo, E. & Vivier, L. (2016). Conceptions spontanées et perspectives de la notion de tangente pour des étudiants de début d’université , Actes du colloque INDRUM, 31 mars-02 avril 2016, Montpellier.